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Eine mathematische Spielerei

Eine physikalische SpielereiEine mathematische Spielerei

Achtung.

Es ist wie in der Schule ... Zirkel und Papier raus und mitgespielt.

Aufgabenstellung sei es, nur mithilfe von Zirkel und Lineal einen beliebigen Winkel zu dritteln. Aus Gründen der Übersichtlichkeit und Genauigkeit habe ich hier mit dem mathematischen Zeichenprogramm Dynageo gearbeitet.

 

  • I. Man zeichne den zu drittelnden Winkel (in diesem speziellen Falle sind es 60°).
    bild 1
  • Bild 2II. Die Enden seines Kreisbogens verbinde man mittels einer Strecke.

  • III. Strecken lassen sich ohne Probleme dritteln:
    Man lasse an einem Ende eine Halbgerade entspringen, stecke von dort aus mit dem Zirkel drei gleich lange Abschnitte ab, verbinde das Ende des letzten mit dem anderen Ende der Strecke und zeichne Parallelen zu dieser Verbindungslinie, die jeweils die anderen Abschnittsmarken kreuzen. Wo die Parallelen die (Anfangs-)Strecke kreuzen, wird sie gedrittelt.

    Bild 3

  • Bild 4 und 5IV. Außerdem ermittle man den Mittelpunkt dieser Strecke (an jedem Ende setze man einen Zirkel an und verbinde schließlich die Schnittpunkte der Kreisbahnen. Wo diese Verbindungslinie die Strecke kreuzt, wird letztere halbiert).

  • V. Dieser Mittelpunkt diene als Zentrum eines Kreises, dessen Durchmesser mit der Länge der Strecke identisch ist.

  • VI. In diesem Kreis konstruiere man ein gleichseitiges Dreieck, dessen Ecken die Kreisbahn berühren. Der erste Winkel liegt am Beginn der Strecke; die gegenüber liegende Kante steht senkrecht zu ihr. Damit wird auch die als 360° definierte Kreisbahn in drei gleich lange Abschnitte zerlegt.
    Sollte der zu teilende Winkel 60° betragen, so berührt der untere Winkel des Dreiecks einen der Schnittpunkte zwischen Kreisbahn und Winkelschenkel.
    Bild 6
  • Bild 7VII. Durch Verdoppelung des Dreiecks erzeuge man einen ebenmäßigen Davidstern, dessen Ecken gleichfalls allesamt das Kreisrund berühren. Die einfachste Methode hierfür ist eine Spiegelung an der Mittelsenkrechten der Strecke. Im Hinblick auf andere Teiler jedoch, sowie auf hierzu korrespondierende geometrische, ebenmäßige Figuren, wäre eine Drehung korrekter. Das Kreisrund ist nun in sechs gleich lange Abschnitte unterteilt, und damit die obere, als 180°-Winkel aufzufassende Hälfte in drei. Wir haben also zwei Endpunkte, die einmal über eine Strecke verbunden sind, die wir gedrittelt haben (III.), und andererseits sowohl oben, als auch unten mittels eines Halbkreises, den wir gleichfalls gedrittelt haben (IV. – VII.). Die Logik gebietet es, dass sowohl die Drittelmarken der Strecke als auch die der korrespondierenden Drittelmarken der (Halb-)Kreisbahnen auf einer stetig verlaufenden Linie liegen müssen, auf der sich auch alle anderen möglichen Drittelmarken eines Winkels befinden, dessen Schenkelabstand sich durch die Strecke definieren lässt. Diese stetig verlaufende Linie gilt es nun zu finden. Sie muss eine Kreisbahn sein, da ein Winkel definiert wird als Ausschnitt eines (360° umfassenden) Kreises.

  • VIII. Wir verbinden jeweils eine Drittelmarke der Strecke mit den korrespondierenden Drittelmarken auf den Kreisbahnen (den nächstliegenden, nicht auf der Strecke befindlichen Zacken des Davidsterns).
    Bild 8
  • IX. Diese Verbindungsbahnen halbieren wir mittels der unter IV. beschriebenen Methode.
    Bild 9
  • X. Mit demselben Verfahren erstellen wir auch die Senkrechten auf den Verbindungsbahnen. Da sie die Drittelungsmarken am linken und rechten Ende der jeweiligen Verbindungsbahn auf gleichen Abstand halten, muss sich auf ihnen auch der Mittelpunkt eines Kreises befinden, auf dessen Kreisrund beide Drittelungsmarken liegen.
    Bild 10
  • XI. Wo sich die beiden Senkrechten kreuzen, muss sich demgemäß der Mittelpunkt eines neuen Kreises befinden, auf dessen Rund alle drei Drittelungsmarken liegen. Wir konstruieren diesen Kreis.
    Bild 11
  • XII. Da der Radius des zweiten Kreises definiert worden ist anhand der Markierungen, welche die Strecke und den 180°-Winkel gedrittelt haben, beschreibt seine Kreisbahn eine Drittelung aller dazwischenliegenden Winkel. Demzufolge stellt sein Schnittpunkt mit der Kreisbahn des Ursprungswinkels dessen Drittelung dar (in diesem Falle also 20°).
    Bild 12

Kommentare  

#1 Alter Hahn 2012-06-23 00:55
Als "Rechnen" in der Schule dran kam, habe ich gerade gefehlt.

Für mich ist die "Mathe-Magie" eine Vorstufe zur schwärzesten Zauberei und mein Mathe-Lehrer ist heute noch der Alistair Crowley meiner finstersten Albträume und unterbewussten Ängste.

Nein, ich werde diese Kreise nicht stören...
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#2 joe p. 2012-06-23 19:02
Toll, dass es sowas hier auch gibt.
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